ریاضی هشتم صفحه 93 - فعالیت 1
۱- در شکل زیر نقطهی $M$ وسط $\overline{BC}$ است. مثلث $ABC$ متساویالساقین است. پارهخطی مانند $\overline{AM}$ را که رأس مثلث را به وسط ضلع مقابل وصل میکند، **میانه** مینامیم.
عبارتهای زیر را کامل کنید و نشان دهید چرا ضلعهای دو مثلث ایجاد شده با هم برابرند.
چون ساقهای مثلث متساویالساقین $ABC$ هستند. $\overline{\quad} = \overline{\quad}$
چون $M$ وسط $\overline{BC}$ است. $\overline{BM} = \overline{\quad}$
$\overline{AM}$ هم ضلع مشترک دو مثلث است.
همنهشتی این دو مثلث را با یک عبارت نشان دهید.
پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هشتم صفحه 93 - فعالیت 1
هدف این فعالیت اثبات **همنهشتی** دو مثلث $\triangle ABM$ و $\triangle ACM$ با استفاده از **حالتهای همنهشتی مثلثها** (و در اینجا حالت سه ضلع یا **ض.ض.ض**) و ویژگیهای مثلث متساویالساقین است.
### **تکمیل عبارتهای همنهشتی (شرط ض.ض.ض)**
برای اثبات همنهشتی این دو مثلث، باید برابری سه ضلع متناظر آنها را نشان دهیم:
**۱. تساوی ساقها (ضلع):**
چون مثلث $ABC$ **متساویالساقین** است، ساقهای آن با هم برابرند:
$$\overline{\mathbf{AB}} = \overline{\mathbf{AC}}$$
**۲. تساوی قسمتهای قاعده (ضلع):**
چون $M$ **وسط** ضلع $\overline{BC}$ (قاعده) است، پس این ضلع را به دو قسمت مساوی تقسیم کرده است:
$$\overline{BM} = \overline{\mathbf{CM}}$$
**۳. ضلع مشترک (ضلع):**
$verline{AM}$ یک ضلع مشترک بین دو مثلث $\triangle ABM$ و $\triangle ACM$ است:
$$\overline{AM} = \overline{AM}$$
### **عبارت همنهشتی**
چون سه ضلع از مثلث $\triangle ABM$ با سه ضلع از مثلث $\triangle ACM$ برابر است (حالت **ض.ض.ض**)، دو مثلث همنهشت هستند:
$$\mathbf{\triangle ABM \cong \triangle ACM}$$
### **نتیجهگیری مهم:**
از آنجا که این دو مثلث همنهشت هستند، زوایای متناظر آنها نیز برابر است. به عنوان مثال، زوایای روبهرو به ساقها ($\hat{B}$ و $\hat{C}$) با هم برابرند (که یکی از ویژگیهای اصلی مثلث متساویالساقین است) و همچنین $\hat{BAM} = \hat{CAM}$ (یعنی میانه $\overline{AM}$، **نیمساز** زاویهی رأس هم هست) و $\hat{AMB} = \hat{AMC}$ (چون مجموع آنها $180^{\circ}$ است و مساویاند، پس هر دو $\mathbf{90^{\circ}}$ هستند، یعنی میانه $\overline{AM}$ **ارتفاع** بر قاعده نیز هست).
